प्राचीन काल में, जब खगोल और गणित का गहरा अध्ययन होता था, तब आचार्यगण ग्रहों की गति और छाया की गणना के लिए विविध विधियाँ बताते थे। सबसे पहले, त्रिज्या और भुजा के वर्गों के योग का वर्गमूल निकाला जाता है, जिसे 'चलाभिधा' कहा जाता है। इसके बाद, कर्क आदि राशियों के आरंभ में कोटि और त्रिज्या का गुणनफल घटा दिया जाता है। फिर भुजा का गुणनफल, त्रिज्या के वर्ग के वर्गमूल से विभाजित कर लिया जाता है। यह प्रक्रिया मंगल आदि ग्रहों के लिए, उनके आरंभ और चौथी क्रिया में अपनाई जाती है। इन चार मुख्य क्रियाओं को शैर्ध्य, माध्य, पुनः मंध्य और शैर्घ्य के नाम से जाना जाता है। ग्रहों की स्थिति, अर्थात् उनकी डिग्री आदि, तुला राशि के आरंभ में चाप के रूप में ली जाती है। सूर्य की तरह ही, ग्रहों के डिग्री की गणना राशिचक्र के विभाजन से की जाती है। कर्क के आरंभ में यह संपत्ति होती है, और मकर के आरंभ में इसे चाप कहा जाता है। ग्रहों के डिग्री को उनके स्वयं के मंद चाप से विभाजित कर जो मिनट प्राप्त होते हैं, उन्हें संबद्ध डिग्री से घटा लिया जाता है। फिर, शेष को धनुष और कान के बीच के चाप से आगे बढ़ाया जाता है। यदि ऋण अधिक हो, तो घटाने के पश्चात शेष वक्र मार्ग में चलता है। इस गणना में बाण, रुद्र, चंद्रमा का चौथाई भाग और सूर्य का अंश, पृथ्वी की संतति के रूप में माने जाते हैं। आगे, प्रगतिशील चाप को विषुवांश के भाग से गुणा किया जाता है, और क्षितिज चाप को बारह से विभाजित किया जाता है। जब धनुष ऊपर की ओर पार होता है और संपत्ति कम होती है, तो उसे अलग से घटा दिया जाता है। दक्षिण की ओर उलटे क्रम में पार होने पर, दिन के अंत में इन्हें दुगुना कर लिया जाता है। ग्रहों के डिग्री, सूर्य के अंश, और भोग आदि के आरंभ की गणना की जाती है। जो दूरी तय की गई है, उसे साठ से गुणा कर, भोगकाल और प्राप्त समयांश निकाले जाते हैं। फिर, उस दूरी को साठ से गुणा कर, उच्चतम भोगकाल से विभाजित किया जाता है। जो शेष बचता है, वही भाव, बलव, कौलव, तैतिल और गर कहलाते हैं। इसी प्रकार शकुनि, नाग, चतुष्पद और किम्स्तुघ्न भी होते हैं। अब, इच्छित अंगुलियों के मान से वृत्त को समान रूप से चिह्नित किया जाता है। छाया की नोक जहाँ स्पर्श करती है, वही पूर्वाह्न और अपराह्न के लिए दी जाती है। मध्य में, दक्षिण से उत्तर की ओर धागे से एक रेखा खींचनी चाहिए। दिशाओं के मध्य का निर्धारण, दिशाओं के मध्य में मछली के अनुसार किया जाता है; उपदिशाओं के लिए भी यही विधि है। वहाँ, दी गई धनुष-डोरी की अंगुलियों के मान से इच्छित प्रकाश की गणना की जाती है। छाया का वृत्त और विषुव का वृत्त इसी प्रकार वर्णित होते हैं। इच्छित छाया और विषुव के बीच की नोक को नाम दिया गया है। जब आधार को शंकु के रूप में स्थापित किया जाता है, तो छाया को विपरीत क्रम में मापा जाता है। उसकी विशेषताओं के अनुसार, उचित विधि और श्रद्धा से, दिनों की संख्या के अनुसार फल प्राप्त होता है। उसके स्पर्श से, प्रकाश, छाया, और पुष्पों का खिलना आदि उत्पन्न होते हैं। उनके छायाओं की लंबवत और क्षैतिज डोरियाँ सदैव दक्षिण की लंबवत और क्षैतिज डोरियाँ होती हैं। सूर्य के शेष खंड उसकी किरणों की डोरियाँ या नोक के खंड होते हैं। नोक की डोरी से विभाजित कर, छाया की गणना बाह्य खंड पर की जाती है। शेष, दिशाओं के विभाजन का आरंभ होता है; उसकी डोरी को त्रिगुणित डोरी से गुणा किया जाता है। कर्क के आरंभ में, अर्धवृत्त से घटा लिया जाता है; तुला के आरंभ में, अर्धवृत्त में जोड़ लिया जाता है। सूर्य की माध्य स्थिति का परिणाम, मंद और शीघ्र गति को बार-बार लागू करने से प्राप्त होता है। वृत्त की गति और प्राप्त मानों का योग, दैनिक और रात्रिकालीन गति कहलाता है। क्रमशः, डोरियों को एक, दो, और तीन से विभाजित किया जाता है; वे पृथक-पृथक धनुष होते हैं। आठ-आठ अपने-अपने विभाजनों के लिए, सूर्य, चंद्रमा आदि, शरद् में एक-एक, शिशिर में तीन-तीन होते हैं। इन्हीं के साथ, पृथक-पृथक और संयुक्त रूप से, कर्क आदि से शुरू होने वाले राशिचिह्न भी जुड़े होते हैं। इस प्रकार, आचार्यगणों ने छाया, ग्रह, और समय की जटिल गणनाओं को श्रद्धा और विज्ञान से समझाया, जिससे ज्योतिष और गणित का अद्भुत संगम प्रकट होता है।